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サッカーボールは二十面体?正20面体と正12面体
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     正多面体一口メモ、最後のグループは正12面体と正20面体。ご存知もしくはお察しのようにこの二つは双対です。

    二十面体

    十二面体

    正12面体  辺の数 30 頂点の数 20  面の数 12
    正20面体  辺の数 30 頂点の数 12  面の数 20

    ということで辺の数は同じ、頂点と面の数が入れ替わっています。

     プラトンは四大元素の水が実は正20面体、宇宙の形もしくは宇宙を満たすエーテルの形が正十二面体だと考えました。正12面体は四大元素ではありませんが、実はこの多面体の存在はプラトン学派の秘密だったそうです。

     この二つの正多面体は普段あまりなじみがなく、また図面を書くのが大変たと思われていますが、次のことを知っていると比較的簡単です。

     底面をべたっと机にのせた形で考えるので大変なので、どちらも辺の中心を持って吊り下げた形で考えると二回対称形になって簡単です。

     正20面体の頂点は中心を共有して互いに直交する三枚の黄金比長方形(1:1.6180・・)の頂点と同じになり、

    正12面体の頂点は中心を共有して互いに直交する三枚の黄金比の自乗長方形(1:2.6180・・)と、やはり中心を共有した
    一辺が元の辺に対して黄金比(1.6180・・)の立方体の頂点と同じになります。図はまたいずれ。

     よく見るサッカーボールは20面の白い六角形と12面の黒い五角形からできていますが、これは切頂二十面体と言って、正20面体の各辺を三等分して、その位置で頂点を切り落とした形です。切り口が黒い正五角形になり、もとの三角は辺の長さが三分の一の正六角形になるわけです。頂点の数だけ五角形が、もとの面の数だけ六角形ができ、あわせて32面になります。

     小さな野球のボールは四面体、中くらいのバレーボールは立方体、比較的大きなサッカーボールは二十面体、使える皮の大きさで決まっていたのだと思います。


    | 多面体一口メモ | 22:02 | comments(0) | trackbacks(0) | pookmark |
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