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野球のボールは四面体?正四面体について
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     さて明日までにアップすると言った多面体一口メモです。まず正四面体です。
     四面体組あがり

     まず基礎的なデータ 辺の数 6 頂点の数 4  面の数 4

    辺の数 は 頂点の数 たす 面の数 ひく 2

    という オイラーの法則というのがあって、どんな多面体でも成立するのがミソです。 線(辺)は 頂 面 2 引く (線は帳面に引く)と憶えるとどっかのサイトにありました。

     辺の数は分かりやすい考えかたがあって、面の数にそのひとつの面を構成する辺の数をかけて二で割るというものです。

     このばあい 4 x 3 / 2 = 6

    どうして2で割るかと言えば 各辺はふたつの面を分けているわけで別々にカウントすうと二重にカウントしているからです。

     同様に頂点の数も一つの頂点に集まる面の数を考えればすぐ計算できます。四面体なら各頂点に三つの面が集まっているので,面の数にそのひとつの面を構成する頂点の数をかけて3で割るわけです。

     4 x 3 / 3 = 4

     ちなみに頂点と面の数が同じ多面体は自己双対形とよばれます。この意味はまた詳しく。

     正多面体をプラトン立体と呼びますが、当時西洋では世界は、火、土、風、水、の四大元素からできていて、プラトンはそれぞれ粒子は正多面体と対応していると考えました。そして一番小さい四面体はもっとも激しい火の形だと考えました。

     さて野球のボールは四面体と書きましたが、どうしてかというと四面体の頂点に互いに接するような円を書いて、二つづつをペアにしてつないでやれば野球のボールの幾何学的な形になります。アタマの中で考えてみると空間思考力がつきます。図はまたいずれ。

     ところで正四面体は三角形を底面として正三角錐と考えることが多いので、気がつきにくいのですが、

     正四面体は立方体の頂点を対角線をずっとたどっていってつなげるだけつなげた形です。実は立方体の対角線だけを取り出すと二つの正四面体が重なった形になっています。つまり正四面体は多面体ではなく多辺体と考えると立方体の半分の対角線の集まりなんですね。


     そう考えると頂点と辺の数は立方体のちょうど半分になっていますね。さらに、そうしてできた正四面体の体積はもとの立方体のちょうど1/3になります。不思議ですね。

     三角形台形など平面図(二次元)図形の面積は2で割るものが多かったのですが、立体(三次元)図形の体積は角錐などのように3で割るものが多いです。この割る数は実は次元の数です。微積分を知っている人にはなんとなくわかると思いますが。


     




    | 多面体一口メモ | 08:08 | comments(0) | trackbacks(0) | pookmark |
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