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サッカーボールは二十面体?正20面体と正12面体
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     正多面体一口メモ、最後のグループは正12面体と正20面体。ご存知もしくはお察しのようにこの二つは双対です。

    二十面体

    十二面体

    正12面体  辺の数 30 頂点の数 20  面の数 12
    正20面体  辺の数 30 頂点の数 12  面の数 20

    ということで辺の数は同じ、頂点と面の数が入れ替わっています。

     プラトンは四大元素の水が実は正20面体、宇宙の形もしくは宇宙を満たすエーテルの形が正十二面体だと考えました。正12面体は四大元素ではありませんが、実はこの多面体の存在はプラトン学派の秘密だったそうです。

     この二つの正多面体は普段あまりなじみがなく、また図面を書くのが大変たと思われていますが、次のことを知っていると比較的簡単です。

     底面をべたっと机にのせた形で考えるので大変なので、どちらも辺の中心を持って吊り下げた形で考えると二回対称形になって簡単です。

     正20面体の頂点は中心を共有して互いに直交する三枚の黄金比長方形(1:1.6180・・)の頂点と同じになり、

    正12面体の頂点は中心を共有して互いに直交する三枚の黄金比の自乗長方形(1:2.6180・・)と、やはり中心を共有した
    一辺が元の辺に対して黄金比(1.6180・・)の立方体の頂点と同じになります。図はまたいずれ。

     よく見るサッカーボールは20面の白い六角形と12面の黒い五角形からできていますが、これは切頂二十面体と言って、正20面体の各辺を三等分して、その位置で頂点を切り落とした形です。切り口が黒い正五角形になり、もとの三角は辺の長さが三分の一の正六角形になるわけです。頂点の数だけ五角形が、もとの面の数だけ六角形ができ、あわせて32面になります。

     小さな野球のボールは四面体、中くらいのバレーボールは立方体、比較的大きなサッカーボールは二十面体、使える皮の大きさで決まっていたのだと思います。


    | 多面体一口メモ | 22:02 | comments(0) | trackbacks(0) | pookmark |
    バレーボールは立方体? 立方体と正八面体について
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      さて多面体一口メモ、二回目は立方体と正八面体。なんでこの二つをいっぺんにやるかというと、双対だからです。双対とは双子の関係ということ。

       まず立方体、正六面体とも言いますが、一番おなじみの形。
      立方体完成
      正多面体の中で唯一つ空間充填(隙間なくどこまでも積んでいける)ができるので、プラトンは四大元素の土はこの形をしていると考えました。
      正四角柱ということもできます。

       つづいて正八面体。
      八面体組みあがり

       強いて言えば三角反柱、あるいは四角双錘ということもできます。反柱とは角柱の上下の多角形をひねって、側面が二つの同じ三角形になるようにした形です。双錘は角錐が二つ裏返しにして重なった形。どちらと考えることもできまるわけですが。

       プラトンは四大元素の空気(風)がこの形をしていると考えました。

       さてこの二つが双子の関係と言ったわけですが、似ても似つかない?と思われるかもしれません。

       ところが 辺、頂点、面 の数を見てみると。

      正六面体  辺の数 12 頂点の数 8  面の数 6
      正八面体  辺の数 12 頂点の数 6  面の数 8

      で、辺の数は同じで、頂点と面の数が入れ替わっているだけということになります。

       つまり各辺を中心と体芯を結ぶ線を軸に90度回転してやると、お互いに双対形に生まれ変わります。

       あるいは面の中心に頂点をとって頂点同士を結ぶと双対図形ができます。双対とはそういう関係です。

       このことから分かることは、正八面体はなんと三枚の正方形が、中心と対角線を共有して互いに90度の角度で交わった形でもあります。もともと正四角錘が二つ重なった形だったと言えば半分に割れば正方形が出てくるのは当然ですが、X,Y,Z方向に対称なので、三枚出てくるわけです。

       そして立方体の面の中心を結んでできる八面体の体積はなんと元の立方体のぴったり1/6になります。

       表記バレーボールは立方体と書きましたが、よくみると六枚の皮が立方体状に集まっているのがわかると思います。各三枚づつ集まって頂点のような部分もあります。最近のはそんなにシンプルではないみたいですが。

       同じくらいの大きさのバスケットボールが八面体だったらすごいのですが、残念ながら知っている限りでは、地球儀のような経緯度分割(経度だけ?)みたいです。

       空間思考を鍛えるために、頭の中で考えてみよう。ということで図はまたいずれ。
       





      | 多面体一口メモ | 17:41 | comments(0) | trackbacks(0) | pookmark |
      野球のボールは四面体?正四面体について
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         さて明日までにアップすると言った多面体一口メモです。まず正四面体です。
         四面体組あがり

         まず基礎的なデータ 辺の数 6 頂点の数 4  面の数 4

        辺の数 は 頂点の数 たす 面の数 ひく 2

        という オイラーの法則というのがあって、どんな多面体でも成立するのがミソです。 線(辺)は 頂 面 2 引く (線は帳面に引く)と憶えるとどっかのサイトにありました。

         辺の数は分かりやすい考えかたがあって、面の数にそのひとつの面を構成する辺の数をかけて二で割るというものです。

         このばあい 4 x 3 / 2 = 6

        どうして2で割るかと言えば 各辺はふたつの面を分けているわけで別々にカウントすうと二重にカウントしているからです。

         同様に頂点の数も一つの頂点に集まる面の数を考えればすぐ計算できます。四面体なら各頂点に三つの面が集まっているので,面の数にそのひとつの面を構成する頂点の数をかけて3で割るわけです。

         4 x 3 / 3 = 4

         ちなみに頂点と面の数が同じ多面体は自己双対形とよばれます。この意味はまた詳しく。

         正多面体をプラトン立体と呼びますが、当時西洋では世界は、火、土、風、水、の四大元素からできていて、プラトンはそれぞれ粒子は正多面体と対応していると考えました。そして一番小さい四面体はもっとも激しい火の形だと考えました。

         さて野球のボールは四面体と書きましたが、どうしてかというと四面体の頂点に互いに接するような円を書いて、二つづつをペアにしてつないでやれば野球のボールの幾何学的な形になります。アタマの中で考えてみると空間思考力がつきます。図はまたいずれ。

         ところで正四面体は三角形を底面として正三角錐と考えることが多いので、気がつきにくいのですが、

         正四面体は立方体の頂点を対角線をずっとたどっていってつなげるだけつなげた形です。実は立方体の対角線だけを取り出すと二つの正四面体が重なった形になっています。つまり正四面体は多面体ではなく多辺体と考えると立方体の半分の対角線の集まりなんですね。


         そう考えると頂点と辺の数は立方体のちょうど半分になっていますね。さらに、そうしてできた正四面体の体積はもとの立方体のちょうど1/3になります。不思議ですね。

         三角形台形など平面図(二次元)図形の面積は2で割るものが多かったのですが、立体(三次元)図形の体積は角錐などのように3で割るものが多いです。この割る数は実は次元の数です。微積分を知っている人にはなんとなくわかると思いますが。


         




        | 多面体一口メモ | 08:08 | comments(0) | trackbacks(0) | pookmark |
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